Cartesiuse koordinaadid vs polaarkoordinaadid
Geomeetrias on koordinaatsüsteem võrdlussüsteem, kus numbreid (või koordinaate) kasutatakse punkti või muu geomeetrilise elemendi asukoha unikaalseks määramiseks ruumis. Koordinaadisüsteemid võimaldavad geomeetrilisi ülesandeid teisendada numbrilisteks ülesanneteks, mis on analüütilise geomeetria aluseks.
Kartesiaalne koordinaatsüsteem ja polaarkoordinaadisüsteemid on kaks levinumat matemaatikas kasutatavat koordinaatsüsteemi.
Kartesiuse koordinaadid
Kartesiaalne koordinaatsüsteem kasutab viitena reaalarvu rida. Ühes dimensioonis ulatub arvurida negatiivsest lõpmatusest positiivse lõpmatuseni. Võttes alguseks punkti 0, saab mõõta iga punkti pikkust. See pakub ainulaadset viisi positsiooni tuvastamiseks real ühe numbriga.
Mõtet saab laiendada kahe- ja kolmemõõtmeliseks, kus kasutatakse üksteisega risti asetsevaid arvuridu. Neil kõigil on alguspunktiga sama punkt 0. Arvridu nimetatakse telgedeks ja neid nimetatakse sageli X-teljeks, Y-teljeks ja Z-teljeks. Kaugust punktini piki iga telge, mis algavad (0, 0, 0), mida nimetatakse ka alguspunktiks ja mis esitatakse koretisena, nimetatakse punkti koordinaadiks. Üldpunkti selles ruumis saab esitada koordinaadiga (x, y, z). Tasapinnalises süsteemis, kus on ainult kaks telge, antakse koordinaadid kujul (x, y). Telgede abil loodud tasapinda tuntakse Descartes'i tasapinnana ja sellele viidatakse sageli telgede tähtedega. Nt. XY lennuk.
Seda üldpunkti saab kasutada erinevate geomeetriliste elementide kirjeldamiseks, piirates üldpunkti teatud viisil käituma. Näiteks võrrand x^2+y^2=a^2 tähistab ringi. Selle asemel, et joonistada ringi raadiusega a, on võimalik tähistada ringi abstraktsemal viisil, nagu on näidatud ülal.
polaarkoordinaadid
Poolaarkoordinaadid kasutavad punkti tähistamiseks erinevuste võrdlussüsteemi. Polaarkoordinaatide süsteem kasutab koordinaatidena vastupäeva nurka x-telje positiivsest suunast ja sirgjoone kaugust punktist.
Poolaarkoordinaate saab kahemõõtmelises Descartes'i koordinaatide süsteemis esitada ül altoodud viisil.
Teisendus polaar- ja Descartes'i süsteemide vahel on antud järgmiste seostega:
r=√(x2 + y2) ↔ x=r cosθ, y=r sinθ
θ=tan-1 (x/y)
Mis vahe on ristkoordinaatidel ja polaarkoordinaatidel?
• Descartes'i koordinaadid kasutavad telgedena arvuridu ja seda saab kasutada ühes, kahes või kolmes mõõtmes. Seetõttu on sellel võime esitada lineaarset, tasapinnalist ja tahket geomeetriat.
• Polaarkoordinaadid kasutavad koordinaatidena nurka ja pikkust ning need võivad kujutada ainult lineaarseid ja tasapinnalisi geomeetriaid, kuigi sellest saab arendada silindrilise koordinaatide süsteemi, et esitada tahke geomeetria.
• Mõlemat süsteemi kasutatakse imaginaarsete arvude esitamiseks imaginaarse telje määratlemise kaudu ja neil on keerukas algebras oluline roll. Kuigi tavalisel kujul on Descartes'i koordinaadid reaalarvud (x, y, z), ei ole polaarsüsteemi koordinaadid alati reaalarvud; st kui nurk on antud kraadides, ei ole koordinaadid reaalsed; kui nurk on antud radiaanides, on koordinaadid reaalarvud.
