Kindel vs määramata integraalid
Arvutamine on matemaatika oluline haru ja diferentseerimine mängib arvutuses olulist rolli. Diferentseerimise pöördprotsessi nimetatakse integreerimiseks ja pöördprotsessi nimetatakse integraaliks või lihts alt öeldes, diferentseerumise pöördprotsess annab integraali. Nende saadud tulemuste põhjal jagatakse integraalid kahte klassi; kindlad ja määramata integraalid.
Lisateave määramata integraalide kohta
Määramatu integraal on pigem integreerimise üldine vorm ja seda võib tõlgendada vaadeldava funktsiooni anti-tuletisena. Oletame, et F diferentseerimine annab f ja f integreerimine integraali. Sageli kirjutatakse see kujul F(x)=∫ƒ(x)dx või F=∫ƒ dx, kus nii F kui ka ƒ on x funktsioonid ja F on diferentseeruv. Ül altoodud kujul nimetatakse seda Reimanni integraaliks ja sellest tulenev funktsioon kaasneb suvalise konstandiga. Määramatu integraal tekitab sageli funktsioonide perekonna; seetõttu on integraal määramatu.
Integraalid ja integreerimisprotsess on diferentsiaalvõrrandite lahendamise keskmes. Erinev alt diferentseerimisest ei järgi integreerimine alati selget ja standardset rutiini; mõnikord ei saa lahendust elementaarfunktsiooni kaudu selgesõnaliselt väljendada. Sel juhul antakse analüütiline lahendus sageli määramata integraali kujul.
Lisateavet kindlate integraalide kohta
Kindlad integraalid on määramatute integraalide väga hinnatud vasted, mille puhul integreerimisprotsess annab tegelikult lõpliku arvu. Seda saab graafiliselt määratleda kui ala, mis on piiratud funktsiooni ƒ kõveraga antud intervallis. Kui integreerimine toimub sõltumatu muutuja etteantud intervalli sees, loob integreerimine kindla väärtuse, mis sageli kirjutatakse kujul a∫bƒ(x) dx või a∫b ƒdx.
Mõtmatud integraalid ja kindlad integraalid on omavahel seotud arvutamise esimese põhiteoreemi kaudu ja see võimaldab arvutada kindla integraali määramata integraalide abil. Teoreem väidab a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a), kus nii F kui ka ƒ on x funktsioonid ja F on diferentseeruv intervallis (a, b). Arvestades intervalli, on a ja b tuntud kui alampiir ja ülemine piir.
Selle asemel, et peatuda ainult reaalfunktsioonidega, saab integreerimist laiendada keerukatele funktsioonidele ja neid integraale nimetatakse kontuurintegraalideks, kus ƒ on kompleksmuutuja funktsioon.
Mis vahe on kindlatel ja määramatutel integraalidel?
Määramata integraalid esindavad funktsiooni anti-tuletist ja sageli funktsioonide perekonda, mitte kindlat lahendust. Kindlates integraalides annab integreerimine lõpliku arvu.
Määramata integraalid seovad suvalise muutuja (seega funktsioonide perekonna) ja kindlatel integraalidel ei ole suvalist konstanti, vaid integreerimise ülem- ja alumine piir.
Määramatu integraal annab tavaliselt diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse.
