Binoomaalne vs tavajaotus
Juhuslike suuruste tõenäosusjaotused mängivad statistika vallas olulist rolli. Nendest tõenäosusjaotustest on binoomjaotus ja normaaljaotus kaks reaalses elus kõige sagedamini esinevat.
Mis on binoomjaotus?
Binoomjaotus on tõenäosusjaotus, mis vastab juhuslikule suurusele X, mis on sõltumatute jah/ei katsete lõplike jada õnnestumiste arv, millest igaühe õnnestumise tõenäosus on p. X definitsioonist on ilmne, et see on diskreetne juhuslik suurus; seetõttu on ka binoomjaotus diskreetne.
Jaotus on tähistatud kui X ~ B (n, p), kus n on katsete arv ja p on õnnestumise tõenäosus. Tõenäosusteooria järgi võime järeldada, et B (n, p) järgib tõenäosusmassi funktsiooni [lateks] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/lateks]. Sellest võrrandist võib veel järeldada, et X eeldatav väärtus, E(X)=np ja X, V(X)=np (1- p) dispersioon.
Võtke näiteks juhuslikku katset mündi 3-kordse viskamise teel. Defineerige edu kui H saamist, ebaõnnestumist kui T saamist ja juhuslikku suurust X kui katse õnnestumiste arvu. Siis X ~ B (3, 0,5) ja X-i tõenäosuse massifunktsioon, mis on antud [lateks] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/lateks]. Seetõttu on vähem alt 2 H saamise tõenäosus P(X ≥ 2)=P (X=2 või X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0,52)(0,51) + 3 C3(0,53)(0,50)=0,375 + 0,125=0,5.
Mis on normaaljaotus?
Normaaljaotus on tõenäosustiheduse funktsiooniga [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi määratud pidev tõenäosusjaotus \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/lateks]. Parameetrid [lateks] \mu ja \\sigma [/latex] tähistavad huvipakkuva üldkogumi keskmist ja standardhälvet. Kui [lateks] \mu=0 ja \\sigma=1 [/latex], nimetatakse jaotust standardseks normaaljaotuseks.
Seda jaotust nimetatakse normaalseks, kuna enamik loodusnähtusi järgib normaaljaotust. Näiteks inimpopulatsiooni IQ on normaalselt jaotunud. Nagu graafikult näha, on see unimodaalne, sümmeetriline keskmise ja kellakujulise suhtes. Keskmine, režiim ja mediaan langevad kokku. Kõvera alune pindala vastab elanikkonna osale, mis vastab antud tingimusele.
Populatsiooni osad vahemikus [lateks] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/lateks], [lateks] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/lateks], [lateks] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/lateks] on ligikaudu 68,2%, 95,6% ja 99,8% vastav alt.
Mis vahe on binoomjaotuse ja normaaljaotuse vahel?
- Binoomjaotus on diskreetne tõenäosusjaotus, samas kui normaaljaotus on pidev.
- Binoomjaotuse tõenäosuse massifunktsioon on [lateks]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], kusjuures normaaljaotuse tõenäosustiheduse funktsioon on [lateks] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- Binoomjaotus on ligikaudne normaaljaotusega teatud tingimustel, kuid mitte vastupidi.
