Juhuslikud muutujad vs tõenäosusjaotus
Statistilised katsed on juhuslikud katsed, mida saab teadaolevate tulemustega lõputult korrata. Selliste katsetega on seotud nii juhuslikud muutujad kui ka tõenäosusjaotused. Iga juhusliku muutuja jaoks on seotud tõenäosusjaotus, mille määrab funktsioon, mida nimetatakse kumulatiivse jaotuse funktsiooniks.
Mis on juhuslik suurus?
Juhuslik muutuja on funktsioon, mis määrab statistilise katse tulemustele arvväärtusi. Teisisõnu, see on funktsioon, mis on defineeritud statistilise katse valimiruumist reaalarvude hulka.
Võtke näiteks juhuslikku katset mündi kahekordseks viskamiseks. Võimalikud tulemused on HH, HT, TH ja TT (H – pead, T – jutud). Olgu muutuja X katses vaadeldud peade arv. Siis võib X võtta väärtused 0, 1 või 2 ja see on juhuslik muutuja. Siin seostab juhuslik muutuja X hulga S={HH, HT, TH, TT} (näidisruum) hulgaga {0, 1, 2} nii, et HH vastendatakse arvuga 2, HT ja TH on vastendatud 1-le ja TT vastendatakse 0-le. Funktsiooni tähistuses saab selle kirjutada järgmiselt: X: S → R kus X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 ja X(TT)=0.
Juhuslikke muutujaid on kahte tüüpi: diskreetsed ja pidevad, vastav alt sellele on võimalike väärtuste arv, mida juhuslik muutuja võib eeldada, maksimaalselt loendatav või mitte. Eelmises näites on juhuslik suurus X diskreetne juhuslik suurus, kuna {0, 1, 2} on lõplik hulk. Mõelge nüüd statistilisele katsele klassi õpilaste kaalu leidmiseks. Olgu Y juhuslik suurus, mis on määratletud õpilase kaaluna. Y võib teatud intervalli piires võtta mis tahes tegeliku väärtuse. Seega on Y pidev juhuslik muutuja.
Mis on tõenäosusjaotus?
Tõenäosuse jaotus on funktsioon, mis kirjeldab tõenäosust, et juhuslik suurus võtab teatud väärtused.
Funktsiooni, mida nimetatakse kumulatiivseks jaotusfunktsiooniks (F), saab defineerida reaalarvude hulgast reaalarvude hulka kui F(x)=P(X ≤ x) (tõenäosus, et X on väiksem kui või võrdub x) iga võimaliku tulemuse x korral. Nüüd saab X-i kumulatiivse jaotusfunktsiooni esimeses näites kirjutada kujul F(a)=0, kui a<0; F(a)=0,25, kui 0≤a<1; F(a)=0,75, kui 1≤a<2 ja F(a)=1, kui a≥2.
Diskreetsete juhuslike suuruste korral saab funktsiooni võimalike tulemuste hulgast reaalarvude hulka defineerida nii, et ƒ(x)=P(X=x) (X tõenäosus on võrdne x) iga võimaliku tulemuse x korral. Seda konkreetset funktsiooni ƒ nimetatakse juhusliku suuruse X tõenäosuse massifunktsiooniks. Nüüd saab X-i tõenäosuse massifunktsiooni esimeses konkreetses näites kirjutada järgmiselt: ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 ja muul juhul ƒ(x)=0. Seega kirjeldab tõenäosuse massifunktsioon koos kumulatiivse jaotuse funktsiooniga X tõenäosusjaotust esimeses näites.
Pidevate juhuslike muutujate korral saab funktsiooni, mida nimetatakse tõenäosustiheduse funktsiooniks (ƒ) defineerida kui ƒ(x)=dF(x)/dx iga x puhul, kus F on parameetri kumulatiivne jaotusfunktsioon. pidev juhuslik suurus. On lihtne näha, et see funktsioon rahuldab ∫ƒ(x)dx=1. Tõenäosuse tiheduse funktsioon koos kumulatiivse jaotuse funktsiooniga kirjeldab pideva juhusliku suuruse tõenäosusjaotust. Näiteks normaaljaotust (mis on pidev tõenäosusjaotus) kirjeldatakse tõenäosustiheduse funktsiooni abil ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Mis vahe on juhuslikel muutujatel ja tõenäosusjaotusel?
• Juhuslik muutuja on funktsioon, mis seob näidisruumi väärtused reaalarvuga.
• Tõenäosuse jaotus on funktsioon, mis seob juhusliku muutuja väärtused vastava esinemise tõenäosusega.
