Transitiivne vara vs asendusomadus
Asendusomadust kasutatakse väärtuste või muutujate jaoks, mis esindavad numbreid. Võrdsuse asendusomadus ütleb, et mistahes arvu a ja b korral, kui a=b, võib a asendada b-ga. Seega, kui a=b, saame mis tahes 'a' muuta a-ks 'b' või mistahes 'b' a-ks.
Näiteks kui on antud, et x=6, siis saame avaldise (x+4)/5 lahendada, asendades x väärtuse. Asendades ül altoodud avaldis x-ga 5; (6+4)/5=2. Põhimõtteliselt saab mis tahes kahte väärtust üksteisega asendada, siis ja ainult siis, kui need on üksteisega võrdsed.
Geomeetrias on määratletud asendusomadus. Selle asendusomaduste definitsiooni kohaselt, kui kaks geomeetrilist objekti (see võib olla kaks nurka, lõigud, kolmnurgad või mis iganes) on kongruentsed, siis saab need kaks geomeetrilist objekti asendada ühega, mis hõlmab ühte neist.
Transitiivne omadus on formaalsem definitsioon, mis on määratletud binaarsuhetes. Seos R hulgast A hulka B on järjestatud paaride hulk, kui A ja B on võrdsed, siis ütleme, et seos on binaarne seos A suhtes. Transitiivne omadus on üks omadustest (refleksiivne, sümmeetriline, Transitiivne) kasutatakse samaväärsuse suhete määratlemiseks.
Suhe R on transitiivne, siis ja ainult siis, kui x on seotud R-ga y-ga ja y on seotud R-ga z-ga, siis x on seotud R-ga z-ga. Sümboolselt saab transitiivset omadust määratleda järgmiselt. Olgu a, b ja c, mis kuuluvad hulka A, binaarsel seosel '~' on transitiivne omadus, mille defineerib: Kui a ~ b ja b ~ c, siis see tähendab a ~ c.
Näiteks on "suurem kui" transitiivne seos. Kui a, b ja c on reaalarvud, mille puhul a on suurem kui b ja b on suurem kui c, siis on loogiline tagajärg, et a on suurem kui c. "Pikem olemine" on samuti transitiivne seos. Kui Kate on pikem kui Mary ja Mary on pikem kui Jenney, tähendab see, et Kate on pikem kui Jenney.
Me ei saa rakendada transitiivsete seoste kriteeriume kõikidele binaarsuhetele. Näiteks kui Bill on Johni isa ja John on Fredi isa, mis ei tähenda, et Bill on Fredi isa. Samamoodi on "meeldimised" mittetransitiivne omadus. Kui Wilsonile meeldib Henry ja Henryle meeldib David, ei tähenda see, et Wilsonile David meeldib. Seega ei ole see transitiivne seos.
Geomeetrias on transitiivne omadus (kolme segmendi või nurga jaoks) määratletud järgmiselt:
Kui kaks segmenti (või nurka) on kumbki kolmanda segmendi (või nurgaga) kongruentsed, siis on need üksteisega kongruentsed.
Võrdsuse transitiivne omadus on määratletud järgmiselt. Olgu a, b ja c mis tahes kolm elementi hulgast A, nii et a=b ja b=c, siis a=c. See näeb välja sarnane asendusomadusega, mida võib pidada b asendamiseks c-ga võrrandis a=b. Need kaks omadust ei ole aga samad.
