Parallelogramm vs ristkülik
Parallelogramm ja ristkülik on nelinurgad. Nende kujundite geomeetria oli inimestele teada tuhandeid aastaid. Seda teemat käsitletakse selgesõnaliselt Kreeka matemaatiku Eukleidese kirjutatud raamatus "Elements".
Parallelogramm
Parallelogrammi saab määratleda kui nelja küljega geomeetrilist kujundit, mille vastasküljed on üksteisega paralleelsed. Täpsem alt on see nelinurk, millel on kaks paari paralleelseid külgi. See paralleelne olemus annab rööpkülikutele palju geomeetrilisi omadusi.
Nelinurk on rööpkülik, kui leitakse järgmised geomeetrilised karakteristikud.
• Kaks paari vastandlikke külgi on võrdse pikkusega. (AB=DC, AD=BC)
• Kaks vastandnurkade paari on võrdse suurusega. ([lateks]D\kübar{A}B=B\kübar{C}D, A\kübar{D}C=A\kübar{B}C[/lateks])
• Kui külgnevad nurgad on täiendavad [lateks]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/lateks]
• Üksteise vastas olevate külgede paar on paralleelsed ja võrdse pikkusega. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonaalid poolitavad üksteist (AO=OC, BO=OD)
• Iga diagonaal jagab nelinurga kaheks kongruentseks kolmnurgaks. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Lisaks võrdub külgede ruutude summa diagonaalide ruutude summaga. Seda nimetatakse mõnikord rööpkülikuseaduseks ja see on füüsikas ja inseneriteaduses lai alt levinud. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Iga ül altoodud tunnust saab kasutada omadustena, kui on kindlaks tehtud, et nelinurk on rööpkülik.
Rööpküliku pindala saab arvutada ühe külje pikkuse ja vastaskülje kõrguse korrutisega. Seetõttu võib rööpküliku pindala esitada kui
Rööpküliku pindala=alus × kõrgus=AB × h
Rööpküliku pindala ei sõltu üksiku rööpküliku kujust. See sõltub ainult aluse pikkusest ja risti kõrgusest.
Kui rööpküliku külgi saab esitada kahe vektoriga, saab pindala saada kahe külgneva vektori vektorkorrutise (ristkorrutise) suuruse järgi.
Kui küljed AB ja AD on esindatud vastav alt vektoritega ([lateks]\overrightarrow{AB}[/latex]) ja ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), on rööpkülik on antud [lateks]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kus α on nurk [lateksi]\overrightarrow{AB}[/latex] ja [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] vahel.
Järgnevad mõned rööpküliku täpsemad omadused;
• Rööpküliku pindala on kaks korda suurem kui selle mis tahes diagonaaliga loodud kolmnurga pindala.
• Rööpküliku pindala jagatakse pooleks mis tahes keskpunkti läbiva sirgega.
• Iga mitte-mandunud afiinne teisendus viib rööpküliku teise rööpkülikuni
• Rööpküliku pöörlemissümmeetria on järku 2
• Rööpküliku mis tahes sisepunktist külgede vahelise kauguste summa ei sõltu punkti asukohast
Ristkülik
Nelja täisnurgaga nelinurka nimetatakse ristkülikuks. See on rööpküliku erijuhtum, kus kahe külgneva külje vahelised nurgad on täisnurgad.
Lisaks rööpküliku kõikidele omadustele saab ristküliku geomeetriat arvestades ära tunda ka täiendavaid omadusi.
• Iga tippude nurk on täisnurk.
• Diagonaalid on võrdse pikkusega ja poolitavad üksteist. Seetõttu on ka poolitatud lõigud pikkuselt võrdsed.
• Diagonaalide pikkuse saab arvutada Pythagorase teoreemi abil:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Pindala valem taandub pikkuse ja laiuse korrutiseks.
Ristküliku pindala=pikkus × laius
• Ristkülikul on palju sümmeetrilisi omadusi, näiteks;
– Ristkülik on tsükliline, kus kõik tipud saab paigutada ringi perimeetrile.
– See on võrdnurkne, kus kõik nurgad on võrdsed.
– See on isogonaalne, kus kõik nurgad asuvad samal sümmeetriaorbiidil.
– Sellel on nii peegeldussümmeetria kui ka pöörlemissümmeetria.
Mis vahe on rööpküliku ja ristküliku vahel?
• Paralleelogramm ja ristkülik on nelinurgad. Ristkülik on rööpküliku erijuht.
• Mis tahes pindala saab arvutada valemiga alus × kõrgus.
• Arvestades diagonaale;
– Rööpküliku diagonaalid poolitavad üksteist ja poolitavad rööpküliku, moodustades kaks ühtlast kolmnurka.
– Ristküliku diagonaalid on võrdse pikkusega ja poolitavad üksteist; poolitatud lõigud on võrdse pikkusega. Diagonaalid poolitavad ristküliku kaheks kongruentseks täisnurkseks kolmnurgaks.
• Arvestades sisenurki;
– Rööpküliku vastassuunalised sisenurgad on võrdse suurusega. Kaks kõrvuti asetsevat sisenurka on täiendavad
– Kõik neli ristküliku sisenurka on täisnurgad.
• Arvestades külgi;
– Rööpküliku külgede ruutude summa on võrdne diagonaali ruutude summaga (Parallelogrammi seadus)
– Ristkülikutes on kahe külgneva külje ruutude summa võrdne otstes oleva diagonaali ruuduga. (Pythagorase reegel)
