Aritmeetilise ja geomeetrilise jada erinevus

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-17 23:30

Aritmeetiline jada vs geomeetriline jada

Arvumustrite ja nende käitumise uurimine on matemaatika valdkonnas oluline uurimus. Sageli võib neid mustreid näha looduses ja see aitab meil selgitada nende käitumist teaduslikust vaatenurgast. Aritmeetilised jadad ja geomeetrilised jadad on kaks põhimustrit, mis esinevad arvudes ja mida sageli leidub loodusnähtustes.

Jada on järjestatud numbrite komplekt. Elementide arv jadas võib olla kas lõplik või lõpmatu.

Lisateavet aritmeetilise jada kohta (aritmeetriline progressioon)

Aritmeetiline jada on defineeritud kui numbrijada, mille iga järjestikuse liikme vahe on konstantne. Seda nimetatakse ka aritmeetiliseks progressiooniks.

Aritmeetiline järjestus ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; kus a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d ja nii edasi.}

Kui esialgne liige on a₁ ja ühine erinevus on d, siis jada n^{th liige on antud järgmisega;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Eespool toodud tulemust edasi kasutades saab n^{th termini anda ka kujul;}

a_n =a_m + (n-m)d, kus a_{m on juhuslik liige sellises järjestuses, et n > m.}

Paarisarvude hulk ja paaritute arvude hulk on aritmeetiliste jadade lihtsaimad näited, kus iga jada ühine erinevus (d) on 2.

Järjes olevate terminite arv võib olla kas lõpmatu või lõplik. Lõpmatul juhul (n → ∞) kaldub jada sõltuv alt ühisest erinevusest (a_{n → ±∞) lõpmatuseni. Kui ühine erinevus on positiivne (d > 0), kaldub jada positiivsesse lõpmatusse ja kui ühine erinevus on negatiivne (d < 0), kaldub see negatiivsesse lõpmatusse. Kui terminid on lõplikud, on ka jada lõplik.}

Aritmeetilise jada liikmete summat nimetatakse aritmeetiliseks jadaks: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{ja S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] annab väärtuse seeria (S}n)

Lisateavet geomeetrilise jada kohta (geomeetriline edenemine)

Gomeetriline jada on defineeritud kui jada, milles kahe järjestikuse liikme jagatis on konstant. Seda nimetatakse ka geomeetriliseks progressiooniks.

Geomeetriline jada ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; kus a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r ja nii edasi, kus r on reaalarv.}

Gomeetrilist jada on lihtsam kujutada, kasutades ühist suhet (r) ja algterminit (a). Siit tuleneb geomeetriline jada ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

N^th terminite üldvorm, mille annab a_n =a₁r ^n-1. (Esimese termini alaindeksi kaotamine ⇒ a_n =ar^n-1)

Gomeetriline jada võib olla ka lõplik või lõpmatu. Kui liikmete arv on lõplik, siis öeldakse, et jada on lõplik. Ja kui liikmed on lõpmatud, võib jada olenev alt suhtarvust r olla kas lõpmatu või lõplik. Ühine suhe mõjutab paljusid geomeetriliste jadade omadusi.

r > o	0 < r < +1	Jda koondub – eksponentsiaalne lagunemine, st an → 0, n → ∞
	r=1	Püsijada, st an=konstantne
	r > 1	Järjestus erineb – eksponentsiaalne kasv, st an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Jada on võnkuv, kuid läheneb
	r=1	Jada on vahelduv ja konstantne, st an=±konstant
	r < -1	Järjestus on vahelduv ja lahkneb. st an → ±∞, n → ∞
r=0	Jada on nullide jada

N. B: Kõigil ül altoodud juhtudel a₁ > 0; kui a₁ < 0, pööratakse a_{n seotud märgid ümber.}

Ajavahemik palli põrgatuste vahel järgib ideaalses mudelis geomeetrilist järjestust ja see on koonduv jada.

Gomeetrilise jada liikmete summat tuntakse geomeetrilise jadana; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Geomeetriliste ridade summa saab arvutada järgmise valemi abil.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); kus a on algusliige ja r on suhe.}

Kui suhe r ≤ 1, siis seeria läheneb. Lõpmatu rea korral annab lähenemise väärtuse S_n=a/(1-r)

Mis vahe on aritmeetilisel ja geomeetrilisel jadal/progressioonil?

• Aritmeetilises jadas on kahel järjestikusel liikmel ühine erinevus (d), samas kui geomeetrilises järjestuses on kahel järjestikusel liikmel konstantne jagatis (r).

• Aritmeetilises jadas on terminite varieerumine lineaarne, st kõiki punkte läbiva sirge saab tõmmata. Geomeetrilises jadas on variatsioon eksponentsiaalne; kas kasvab või laguneb ühise suhte alusel.

• Kõik lõpmatud aritmeetilised jadad on lahknevad, samas kui lõpmatud geomeetrilised jadad võivad olla lahknevad või koonduvad.

• Geomeetriline jada võib näidata võnkumist, kui suhe r on negatiivne, samas kui aritmeetiline jada ei näita võnkumist