Tuletis vs integraal
Diferentseerimine ja integreerimine on Calculuse kaks põhitoimingut. Neil on palju rakendusi mitmes valdkonnas, nagu matemaatika, inseneriteadus ja füüsika. Nii tuletis kui ka integraal arutlevad meid huvitava füüsilise olemi funktsiooni või käitumise üle.
Mis on tuletis?
Oletame, et y=ƒ(x) ja x0 on ƒ domeenis. Seejärel limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx nimetatakse ƒ hetkemuutuse kiiruseks x0, eeldusel, et see piirang on piiratud. Seda piiri nimetatakse ka at tuletiseks ja seda tähistatakse ƒ(x).
Funktsiooni f tuletise väärtuse suvalises punktis x funktsiooni domeenis annab limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Seda tähistatakse ühega järgmistest avaldistest: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Mitme muutujaga funktsioonide puhul defineerime osatuletise. Mitme muutujaga funktsiooni osaline tuletis on selle tuletis ühe muutuja suhtes, eeldades, et teised muutujad on konstandid. Osatuletise sümbol on ∂.
Geomeetriliselt võib funktsiooni tuletist tõlgendada funktsiooni ƒ(x) kõvera kaldena.
Mis on integraal?
Integratsioon ehk diferentseerumisvastane on diferentseerumise vastupidine protsess. Teisisõnu, see on algse funktsiooni leidmise protsess, kui on antud funktsiooni tuletis. Seetõttu saab funktsiooni ƒ(x) integraali või antituletise, kui ƒ(x)=F (x) defineerida funktsioonina F (x) kõigi x-ide korral ƒ(x) domeenis.
Avaldis ∫ƒ(x) dx tähistab funktsiooni ƒ(x) tuletist. Kui ƒ(x)=F (x), siis ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, kus C on konstant, ∫ƒ(x) dx nimetatakse ƒ(x) määramatuks integraaliks.
Iga funktsiooni ƒ jaoks, mis ei pruugi olla mittenegatiivne ja defineeritud vahemikus [a, b], a∫b ƒ(x) dx nimetatakse kindlaks integraaliks ƒ punktidel [a, b].
Funktsiooni ƒ(x) kindlat integraali a∫bƒ(x) dx saab geomeetriliselt tõlgendada kui funktsiooni pindala piirkond, mis on piiratud kõvera ƒ(x), x-telje ja joontega x=a ja x=b.
Mis vahe on tuletisel ja integraalil?
• Tuletis on protsesside eristamise tulemus, integraal aga protsesside integreerimise tulemus.
• Funktsiooni tuletis tähistab kõvera kallet mis tahes punktis, integraal aga kõveraalust pindala.
