Tuletis vs diferentsiaal
Diferentsiaalarvutuses on funktsiooni tuletis ja diferentsiaal tihed alt seotud, kuid neil on väga erinevad tähendused ning neid kasutatakse kahe olulise diferentseeruvate funktsioonidega seotud matemaatilise objekti tähistamiseks.
Mis on tuletis?
Funktsiooni tuletis mõõdab funktsiooni väärtuse muutumise kiirust selle sisendi muutumisel. Mitme muutujaga funktsioonides sõltub funktsiooni väärtuse muutus sõltumatute muutujate väärtuste muutumise suunast. Seetõttu valitakse sellistel juhtudel konkreetne suund ja funktsioon eristatakse selles konkreetses suunas. Seda tuletist nimetatakse suunatuletiseks. Osatuletised on eriliik suunatuletised.
Vektorväärtusega funktsiooni f tuletist saab defineerida kui piiri [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/lateks] kõikjal, kus see on lõplikult olemas. Nagu eelnev alt mainitud, annab see meile funktsiooni f kasvukiiruse piki vektori u suunda. Ühe väärtusega funktsiooni puhul taandub see tuletise üldtuntud definitsiooniks [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ kuni 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Näiteks [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] on kõikjal diferentseeritav ja tuletis on võrdne piiriga [lateks]\\lim_{h \\ kuni 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateks], mis on võrdne [lateks]3x^{2}+4[/lateks]. Funktsioonide nagu [lateks]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] tuletised eksisteerivad kõikjal. Need on vastav alt võrdsed funktsioonidega [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
See on tuntud kui esimene tuletis. Tavaliselt tähistatakse funktsiooni f esimest tuletist f-ga (1) Nüüd on seda tähistust kasutades võimalik defineerida kõrgemat järku tuletisi. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ kuni 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateks] on teist järku suunatuletis ja tähistab n th tuletist f-ga (n) iga n kohta, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ kuni 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/lateks], määratleb n th tuletise.
Mis on diferentsiaal?
Funktsiooni diferentsiaal tähistab funktsiooni muutust sõltumatu muutuja või muutujate muutuste suhtes. Tavalises tähistuses saadakse ühe muutuja x antud funktsiooni f korral 1 järgu df summaarne diferentsiaal järgmiselt: [lateks]df=f^{1}(x)dx[/latex]. See tähendab, et x lõpmatult väikese muutuse korral (st d x) toimub f (1)(x)d x muutus f-s.
Piirasid kasutades võib selle määratluse tulemuseks olla järgmine. Oletame, et ∆ x on x muutus suvalises punktis x ja ∆ f on vastav muutus funktsioonis f. Võib näidata, et ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, kus ϵ on viga. Nüüd piirang ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (kasutades eelnev alt öeldud tuletise definitsiooni) ja seega ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Seetõttu on võimalik järeldage, et ∆ x→ 0 ϵ=0. Nüüd, kui tähistada ∆ x→ 0 ∆ f kui d f ja ∆ x→ 0 ∆ x kui d x, saadakse täpselt diferentsiaali definitsioon.
Näiteks funktsiooni [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] diferentsiaal on [lateks](3x^{2}+4)dx[/lateks].
Kahe või enama muutuja funktsioonide puhul määratletakse funktsiooni kogudiferentsiaal iga sõltumatu muutuja suundades olevate diferentsiaalide summana. Matemaatiliselt võib selle esitada järgmiselt: [lateks]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Mis vahe on tuletisel ja diferentsiaalil?
• Tuletis viitab funktsiooni muutumiskiirusele, samas kui diferentsiaal viitab funktsiooni tegelikule muutusele, kui sõltumatu muutuja muutub.
• Tuletise annab [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/lateks], kuid diferentsiaal on antud [lateks]df=f^{1}(x)dx[/latex].
