Diferentseerimine vs tuletis
Diferentsiaalarvutuses on tuletis ja diferentseerimine tihed alt seotud, kuid väga erinevad ning neid kasutatakse kahe olulise funktsioonidega seotud matemaatilise mõiste esindamiseks.
Mis on tuletis?
Funktsiooni tuletis mõõdab funktsiooni väärtuse muutumise kiirust selle sisendi muutumisel. Mitme muutujaga funktsioonides sõltub funktsiooni väärtuse muutus sõltumatute muutujate väärtuste muutumise suunast. Seetõttu valitakse sellistel juhtudel konkreetne suund ja funktsioon eristatakse selles konkreetses suunas. Seda tuletist nimetatakse suunatuletiseks. Osatuletised on eriliik suunatuletised.
Vektorväärtusega funktsiooni f tuletist saab defineerida kui piiri [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/lateks] kõikjal, kus see on lõplikult olemas. Nagu eelnev alt mainitud, annab see meile funktsiooni f kasvukiiruse piki vektori u suunda. Ühe väärtusega funktsiooni puhul taandub see tuletise üldtuntud definitsiooniks [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\ kuni 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Näiteks [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] on kõikjal diferentseeritav ja tuletis on võrdne piiriga [lateks]\\lim_{h \\ kuni 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateks], mis on võrdne [lateks]3x^{2}+4[/lateks]. Funktsioonide nagu [lateks]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] tuletised eksisteerivad kõikjal. Need on vastav alt võrdsed funktsioonidega [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
See on tuntud kui esimene tuletis. Tavaliselt tähistatakse funktsiooni f esimest tuletist f-ga (1) Nüüd on seda tähistust kasutades võimalik defineerida kõrgemat järku tuletisi. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\ kuni 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateks] on teist järku suunatuletis ja tähistab n th tuletist f-ga (n) iga n kohta, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\ kuni 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/lateks], määratleb n th tuletise.
Mis on eristamine?
Diferentseerimine on diferentseeruva funktsiooni tuletise leidmise protsess. D-ga tähistatud D-operaator esindab mõnes kontekstis diferentseerumist. Kui x on sõltumatu muutuja, siis D ≡ d/dx. D-operaator on lineaarne operaator, st mis tahes kahe diferentseeruva funktsiooni f ja g ning konstandi c jaoks, millele järgnevad omadused kehtivad.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Kasutades D-operaatorit, saab teisi eristamisega seotud reegleid väljendada järgmiselt. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 ja D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Näiteks kui F(x)=x 2sin x eristatakse antud reeglite abil x suhtes, on vastus 2 x sin x + x2cos x.
Mis vahe on diferentseerimisel ja tuletisel?• Tuletis viitab funktsiooni muutumiskiirusele • Diferentseerimine on funktsiooni tuletise leidmise protsess. |
