Integreerimine vs eristumine
Integratsioon ja diferentseerimine on kaks muutust uuriva arvutuse põhimõistet. Calculusel on lai valik rakendusi paljudes valdkondades, nagu teadus, majandus või rahandus, tehnika jne.
Diferentseerimine
Diferentseerimine on tuletiste arvutamise algebraline protseduur. Funktsiooni tuletis on kõvera (graafiku) kalle või gradient mis tahes punktis. Kõvera gradient mis tahes punktis on antud punktis sellele kõverale tõmmatud puutuja gradient. Mittelineaarsete kõverate korral võib kõvera gradient piki telge erinevates punktides varieeruda. Seetõttu on raske arvutada gradienti või kallet mis tahes punktis. Diferentseerimisprotsess on kasulik kõvera gradiendi arvutamisel mis tahes punktis.
Teine tuletise määratlus on "omaduse muutumine teise omaduse ühikulise muutuse suhtes."
Olgu f(x) sõltumatu muutuja x funktsioon. Kui sõltumatus muutujas x tekitatakse väike muutus (∆x), tekib vastav muutus ∆f(x) funktsioonis f(x); siis suhe ∆f(x)/∆x on f(x) muutumiskiiruse mõõt x suhtes. Selle suhte piirväärtust, kuna ∆x kaldub nulli, lim∆x→0(f(x)/∆x) nimetatakse funktsiooni f(x) esimeseks tuletiseks., x suhtes; teisisõnu f(x) hetkeline muutus antud punktis x.
Integratsioon
Integreerimine on kas kindla või määramata integraali arvutamise protsess. Reaalfunktsiooni f(x) ja reaaljoone suletud intervalli [a, b] korral on kindel integraal a∫b f(x) on defineeritud kui ala funktsiooni graafiku, horisonta altelje ja intervalli lõpp-punktides kahe vertikaalse joone vahel. Kui kindlat intervalli pole antud, nimetatakse seda määramatuks integraaliks. Kindla integraali saab arvutada antiderivaatide abil.
Mis vahe on integreerimisel ja diferentseerimisel?
Erinevus integreerimise ja diferentseerimise vahel on omamoodi nagu erinevus "ruudukujulise" ja "ruutjuure võtmise" vahel. Kui me paneme positiivse arvu ruudu ruutu ja võtame tulemuse ruutjuure, on positiivne ruutjuur väärtus, mille ruudus tegite. Samamoodi, kui rakendate integratsiooni tulemusele, mille saite pideva funktsiooni f(x) eristamisega, viib see tagasi algse funktsiooni juurde ja vastupidi.
Näiteks olgu F(x) funktsiooni f(x)=x integraal, seega F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, kus c on suvaline konstant. Diferentseerides F(x) x suhtes, saame F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, seega on F(x) tuletis võrdne f(x).
Kokkuvõte
– Diferentseerimine arvutab kõvera kalde, integreerimine aga kõveraaluse pindala.
– Integreerimine on diferentseerumise vastupidine protsess ja vastupidi.
