Erinevus integreerimise ja summeerimise vahel

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 13:37

Integreerimine vs summeerimine

Keskkooli matemaatikas on integreerimist ja liitmist sageli matemaatilistes tehtetes. Näiliselt kasutatakse neid erinevate tööriistadena ja erinevates olukordades, kuid neil on väga lähedane suhe.

Lisateavet summeerimise kohta

Summeerimine on arvude jada lisamise operatsioon ja seda operatsiooni tähistatakse sageli kreeka suure sigma tähega Σ. Seda kasutatakse liitmise lühendamiseks ja see võrdub jada summa/summaga. Neid kasutatakse sageli seeria esindamiseks, mis on sisuliselt kokku võetud lõpmatud jadad. Neid saab kasutada ka vektorite, maatriksite või polünoomide summa näitamiseks.

Summeerimine tehakse tavaliselt väärtusvahemiku jaoks, mida saab esitada üldterminiga, näiteks seeria, millel on ühine termin. Summeerimise algus- ja lõpp-punkti nimetatakse vastav alt liitmise alumiseks ja ülemiseks piiriks.

Näiteks jada a₁, a₂, a₃, a summa ₄, …, a_n on a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, mida saab hõlpsasti esitada, kasutades liitmismärki kui ∑ _i=1 a_{i; mind nimetatakse liitmise indeksiks.}

Rakendusepõhiseks summeerimiseks kasutatakse paljusid variatsioone. Mõnel juhul võib ülemise ja alumise piiri anda intervalli või vahemikuna, näiteks ∑_1≤i≤100 a_i ja ∑_{i∈[1, 100]} a_i Või võib selle esitada arvude komplektina, näiteks ∑_i∈P a_{i, kus P on määratletud hulk.}

Mõnel juhul võib kasutada kahte või enamat sigmamärki, kuid neid saab üldistada järgmiselt; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Samuti järgib liitmine paljusid algebrareegleid. Kuna manustatud tehe on liitmine, saab paljusid algebra üldreegleid rakendada summadele endale ja summeerimisega kujutatud üksikutele terminitele.

Lisateavet integratsiooni kohta

Integreerimist määratletakse kui diferentseerumise vastupidist protsessi. Kuid geomeetrilises vaates võib seda pidada ka funktsiooni kõvera ja teljega ümbritsetud alaks. Seetõttu annab pindala arvutamine kindla integraali väärtuse, nagu on näidatud diagrammil.

Pildi allikas:

Kindla integraali väärtus on tegelikult kõvera ja telje sees olevate väikeste ribade summa. Iga riba pindala on vaadeldava telje punkti kõrgus × laius. Laius on väärtus, mille saame valida, näiteks ∆x. Ja kõrgus on ligikaudu funktsiooni väärtus vaadeldavas punktis, ütleme f (x_{i). Diagrammilt on ilmne, et mida väiksemad on ribad, seda paremini mahuvad ribad piiratud ala sisse, seega on väärtuse parem ligikaudne väärtus.}

Seega, üldiselt saab punktide a ja b vahelise kindla integraali I (st intervallis [a, b], kus a<b) esitada kujul I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, kus n on ribade arv (n=(b-a)/∆x). Seda pindala liitmist saab hõlpsasti esitada, kasutades liitmismärki kui I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Kuna lähendus on parem, kui ∆x on väiksem, saame väärtuse arvutada, kui ∆x→0. Seetõttu on mõistlik öelda, et I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Üldistusena ül altoodud kontseptsioonist saame ∆x valida vaadeldava intervalli alusel, mida indekseerib i (ala laiuse valimine asukoha alusel). Siis saame

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Seda nimetatakse funktsiooni f (x) Reimanni integraaliks vahemikus [a, b]. Sel juhul a ja b on tuntud kui integraali ülemine ja alumine piir. Reimanni integraal on kõigi integreerimismeetodite põhivorm.

Sisuliselt on integreerimine ala liitmine, kui ristküliku laius on lõpmata väike.

Mis vahe on integreerimisel ja summeerimisel?

• Summeerimine on arvude jada liitmine. Tavaliselt esitatakse summeerimine järgmisel kujul ∑_i=1 a_{i, kui jadas on terminid neil on muster ja seda saab väljendada üldterminiga.}

• Integratsioon on põhimõtteliselt ala, mis on piiratud funktsiooni kõvera, telje ning ülemise ja alumise piiriga. Selle ala saab anda piiritletud ala palju väiksemate alade summana.

• Summeerimine hõlmab diskreetseid väärtusi ülemise ja alumise piiriga, samas kui integreerimine hõlmab pidevaid väärtusi.

• Integratsiooni võib tõlgendada kui liitmise erivormi.

• Numbriliste arvutusmeetodite puhul teostatakse integreerimine alati summeerimisena.