Riemanni integraali ja Lebesgue'i integraali erinevus

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 13:37

Riemanni integraal vs Lebesgue integraal

Integratsioon on arvutamise põhiteema. Laiemas mõttes võib integratsiooni vaadelda kui diferentseerumise vastupidist protsessi. Reaalmaailma probleemide modelleerimisel on lihtne kirjutada tuletisi sisaldavaid avaldisi. Sellises olukorras on vaja integreerimistoimingut, et leida funktsioon, mis andis konkreetse tuletise.

Teise nurga alt vaadates on integreerimine protsess, mis võtab kokku funktsiooni ƒ(x) ja δx korrutise, kus δx kipub olema teatud piir. Seetõttu kasutame integratsioonisümbolit kui ∫. Sümbol ∫ on tegelikult see, mille saame s-tähte venitades, et viidata summale.

Riemanni integraal

Võtke arvesse funktsiooni y=ƒ(x). y integraal a ja b vahel, kus a ja b kuuluvad hulka x, kirjutatakse kujul _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Seda nimetatakse a ja b vahelise üheväärtusliku ja pideva funktsiooni y=ƒ(x) kindlaks integraaliks. See annab kõveraaluse pindala a ja b vahel. Seda nimetatakse ka Riemanni integraaliks. Riemanni integraali lõi Bernhard Riemann. Pideva funktsiooni Riemanni integraal põhineb Jordani mõõdul, mistõttu on see defineeritud ka funktsiooni Riemanni summade piirina. Suletud intervallil määratletud tegeliku väärtusega funktsiooni puhul funktsiooni Riemanni integraal partitsiooni suhtes x₁, x₂, …, x n_{, mis on määratletud vahemikus [a, b] ja t}1_{, t}2_{, …, t n}, kus x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 jaoks iga i ε {1, 2, …, n}, Riemanni summa on defineeritud kui Σ_{i=o kuni n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue on teist tüüpi integraal, mis hõlmab paljusid erinevaid juhtumeid kui Riemanni integraal. Lebesgue integraali võttis kasutusele Henri Lebesgue aastal 1902. Legesgue integratsiooni võib pidada Riemanni integratsiooni üldistuseks.

Miks me peame uurima teist integraali?

Võtkem arvesse iseloomulikku funktsiooni ƒ_{A (x)=}{_{0, kui, x mitte ε A}^{1 kui, x ε A}hulgal A. Seejärel karakteristlike funktsioonide lõplik lineaarne kombinatsioon, mis on defineeritud kui F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) nimetatakse lihtfunktsiooniks, kui E} i _{on iga i puhul mõõdetav. F (x) Lebesgue'i integraal üle E on tähistatud} E_{∫ ƒ(x)dx. Funktsioon F (x) ei ole Riemanni integreeritav. Seetõttu on Lebesgue integraal ümbersõnastatud Riemanni integraal, millel on integreeritavatele funktsioonidele mõned piirangud.}

Mis vahe on Riemanni integraalil ja Lebesgue'i integraalil?

· Lebesgue'i integraal on Riemanni integraali üldistusvorm.

· Lebesgue'i integraal võimaldab loendatavat lõpmatust katkestusi, samal ajal kui Riemanni integraal võimaldab piiratud arvu katkestusi.