Vastastikku eksklusiivsed vs sõltumatud sündmused
Inimesed ajavad sageli üksteist välistavate sündmuste mõiste segamini sõltumatute sündmustega. Tegelikult on need kaks erinevat asja.
Olgu A ja B mis tahes kaks juhusliku katsega E seotud sündmust. P(A) nimetatakse "A tõenäosuseks". Samamoodi saame defineerida B tõenäosuse kui P(B), A või B tõenäosuse kui P(A∪B) ning A ja B tõenäosuse kui P(A∩B). Seejärel P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Kuid kaks sündmust välistavad üksteist, kui ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teist. Teisisõnu, need ei saa esineda üheaegselt. Seega, kui kaks sündmust A ja B on teineteist välistavad, siis A∩B=∅ ja järelikult tähendab see P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Olgu A ja B kaks sündmust valimiruumis S. A tingimuslik tõenäosus, arvestades, et B on toimunud, on tähistatud P(A | B) ja defineeritakse kui; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), tingimusel, et P(B)>0. (muidu pole see määratletud.)
Sündmus A on sündmusest B sõltumatu, kui A toimumise tõenäosust ei mõjuta see, kas B on toimunud või mitte. Teisisõnu, sündmuse B tulemus ei mõjuta sündmuse A tulemust. Seetõttu P(A | B)=P(A). Samamoodi on B sõltumatu A-st, kui P(B)=P(B | A). Seega võime järeldada, et kui A ja B on sõltumatud sündmused, siis P(A∩B)=P(A). P(B)
Oletame, et veeretatakse nummerdatud kuubik ja heidetakse ümber õiglane münt. Olgu A sündmus, mis saab pea, ja B sündmus, mis veereb paarisarvu. Siis võime järeldada, et sündmused A ja B on sõltumatud, kuna ühe tulemus ei mõjuta teise tulemust. Seetõttu P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Kuna P(A∩B)≠0, ei saa A ja B üksteist välistada.
Oletame, et urnis on 7 valget ja 8 musta marmorit. Määratle sündmus A kui valge marmori joonistamine ja sündmus B kui musta marmori joonistamine. Eeldades, et iga marmor asendatakse pärast selle värvi ülesmärkimist, on P(A) ja P(B) alati samad, olenemata sellest, mitu korda me urnist joonistame. Kuulide asendamine tähendab, et tõenäosus ei muutu loosimise ajal, olenemata sellest, mis värvi me viimasel loosimisel valisime. Seetõttu on sündmused A ja B sõltumatud.
Kui aga marmorid joonistati asendamata, siis kõik muutub. Selle eelduse kohaselt ei ole sündmused A ja B sõltumatud. Esimesel korral valge marmori joonistamine muudab musta marmori joonistamise tõenäosust teisel joonisel ja nii edasi. Teisisõnu, iga loosimine mõjutab järgmist loosimist ja seega ei ole üksikud loosimised sõltumatud.
Erinevus vastastikku välistavate ja sõltumatute sündmuste vahel
– Sündmuste vastastikune eksklusiivsus tähendab, et komplektide A ja B vahel puudub kattumine. Sündmuste sõltumatus tähendab, et sündmuse A toimumine ei mõjuta B toimumist.
– Kui kaks sündmust A ja B välistavad teineteist, siis P(A∩B)=0.
– Kui kaks sündmust A ja B on sõltumatud, siis P(A∩B)=P(A). P(B)
