Tõenäosuse jaotuse funktsioon vs tõenäosustiheduse funktsioon
Tõenäosus on sündmuse toimumise tõenäosus. See idee on väga levinud ja seda kasutatakse sageli igapäevaelus, kui hindame oma võimalusi, tehinguid ja paljusid muid asju. Selle lihtsa kontseptsiooni laiendamine suurematele sündmustele on veidi keerulisem. Näiteks ei saa me lihts alt aru saada loteriivõiduvõimalustest, kuid on mugav, pigem intuitiivne öelda, et tõenäosus, et üks kuuest saab täringuheites kuuenda koha.
Kui toimuda võivate sündmuste arv kasvab või üksikute võimaluste arv on suur, siis see üsna lihtne tõenäosuse idee ebaõnnestub. Seetõttu tuleb enne keerukamate probleemide käsitlemist anda sellele kindel matemaatiline definitsioon.
Kui ühes olukorras võib toimuda suur sündmuste arv, ei saa igat sündmust eraldi vaadelda kui täringuviskamise näites. Seega võetakse kogu sündmuste kogum kokku juhusliku muutuja kontseptsiooni tutvustamisega. See on muutuja, mis võib konkreetses olukorras (või näidisruumis) eeldada erinevate sündmuste väärtusi. See annab olukorra lihtsatele sündmustele matemaatilise mõistuse ja matemaatilise viisi sündmuse käsitlemiseks. Täpsem alt on juhuslik muutuja reaalväärtuse funktsioon valimiruumi elementide kohal. Juhuslikud muutujad võivad olla kas diskreetsed või pidevad. Tavaliselt tähistatakse neid ingliskeelse tähestiku suurtähtedega.
Tõenäosuse jaotuse funktsioon (või lihts alt tõenäosusjaotus) on funktsioon, mis määrab iga sündmuse tõenäosuse väärtused; see tähendab, et see annab seose tõenäosustega, mis on juhusliku muutuja väärtuste jaoks. Tõenäosuse jaotuse funktsioon on määratletud diskreetsete juhuslike muutujate jaoks.
Tõenäosuse tihedusfunktsioon on pidevate juhuslike muutujate tõenäosusjaotuse funktsiooni ekvivalent, annab tõenäosuse, et teatud juhuslik suurus omandab teatud väärtuse.
Kui X on diskreetne juhuslik suurus, nimetatakse funktsiooni, mis on antud f (x)=P (X=x) iga X vahemikus oleva x jaoks, tõenäosusjaotuse funktsiooniks. Funktsiooni saab kasutada tõenäosusjaotuse funktsioonina siis ja ainult siis, kui funktsioon vastab järgmistele tingimustele.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Funktsiooni f (x), mis on defineeritud üle reaalarvude hulga, nimetatakse pideva juhusliku suuruse X tõenäosustiheduse funktsiooniks siis ja ainult siis, kui
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx mis tahes reaalkonstantide a ja b korral.
Tõenäosuse tiheduse funktsioon peaks vastama ka järgmistele tingimustele.
1. f (x) ≥ 0 kõigi x kohta: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Nii tõenäosusjaotuse funktsiooni kui ka tõenäosustiheduse funktsiooni kasutatakse tõenäosuste jaotuse esitamiseks valimiruumis. Tavaliselt nimetatakse neid tõenäosusjaotusteks.
Statistiliseks modelleerimiseks tuletatakse standardsed tõenäosustiheduse funktsioonid ja tõenäosusjaotuse funktsioonid. Normaaljaotus ja standardne normaaljaotus on pidevate tõenäosusjaotuste näited. Binoomjaotus ja Poissoni jaotus on diskreetsete tõenäosusjaotuste näited.
Mis vahe on tõenäosusjaotuse ja tõenäosustiheduse funktsiooni vahel?
• Tõenäosuse jaotuse funktsioon ja tõenäosustiheduse funktsioon on funktsioonid, mis on määratletud valimiruumi ulatuses, et määrata igale elemendile asjakohane tõenäosusväärtus.
• Tõenäosuse jaotuse funktsioonid on määratletud diskreetsete juhuslike suuruste jaoks, tõenäosuse tiheduse funktsioonid aga pidevate juhuslike suuruste jaoks.
• Tõenäosusväärtuste (st tõenäosusjaotuste) jaotust kirjeldavad kõige paremini tõenäosustiheduse funktsioon ja tõenäosusjaotuse funktsioon.
• Tõenäosuse jaotuse funktsiooni saab esitada väärtustena tabelis, kuid tõenäosustiheduse funktsiooni puhul pole see võimalik, kuna muutuja on pidev.
• Joonistamisel annab tõenäosusjaotuse funktsioon tulpdiagrammi, tõenäosuse tiheduse funktsioon aga kõvera.
• Tõenäosuse jaotuse funktsiooni tulpade kõrgus/pikkus peab lisanduma 1-le, samas kui tõenäosustiheduse funktsiooni kõvera alune pindala peab lisama 1.
• Mõlemal juhul peavad funktsiooni kõik väärtused olema mittenegatiivsed.
