Hüperbool vs ellips
Kui koonust lõigatakse erinevate nurkade all, tähistatakse koonuse servaga erinevaid kõverusi. Neid kõveraid nimetatakse sageli koonilisteks lõikudeks. Täpsem alt öeldes on koonuslõige kõver, mis saadakse parempoolse ringikujulise koonuspinna ja tasapinnalise pinna lõikumisel. Erinevate lõikenurkade korral on antud erinevad koonilised lõigud.
Nii hüperbool kui ka ellips on koonilised lõigud ja nende erinevusi on selles kontekstis lihtne võrrelda.
Lisateavet Ellipse kohta
Kui koonilise pinna ja tasapinna ristumiskoht tekitab suletud kõvera, nimetatakse seda ellipsiks. Selle ekstsentrilisus on nulli ja ühe vahel (0<e<1). Seda saab määratleda ka punktide hulga asukohana tasapinnal nii, et kahe fikseeritud punkti punkti kauguste summa jääb konstantseks. Neid kahte fikseeritud punkti nimetatakse fookusteks. (Pidage meeles, et matemaatika algklassides joonistatakse ellipsid kahe fikseeritud tihvti külge seotud nööri või nöörisilmuse ja kahe tihvtiga.)
Fookusi läbivat joonelõiku nimetatakse peateljeks ja peateljega risti olevat ja ellipsi keskpunkti läbivat telge nimetatakse kõrv alteljeks. Läbimõõte piki iga telge nimetatakse vastav alt põikidiameetriks ja konjugaadi läbimõõduks. Pool suurteljest on tuntud kui pool-suurtelg ja pool kõrv alteljest on tuntud kui pool-suurtelg.
Iga punkti F1 ja F2 on tuntud kui ellipsi fookused ja pikkuste F1 + PF2 =2a, kus P on suvaline punkt ellipsil. Ekstsentrilisus e on määratletud kui suhe fookuse ja suvalise punkti (PF 2) ja suvalise punkti ja suvalise punkti vahelise kauguse suhe (PD). See võrdub ka kahe fookuse ja poolsuurtelje vahelise kaugusega: e=PF/PD=f/a
Ellipsi üldvõrrand, kui poolsuurtelg ja poolväiketelg langevad kokku Descartes'i telgedega, on esitatud järgmiselt.
x2/a2 + y2/b2=1
Ellipsi geomeetrial on palju rakendusi, eriti füüsikas. Päikesesüsteemi planeetide orbiidid on elliptilised, mille üheks fookuseks on päike. Antenni ja akustiliste seadmete reflektorid on valmistatud elliptilise kujuga, et kasutada ära asjaolu, et fookuse mis tahes kiirgus koondub teisele fookusele.
Lisateavet hüperbooli kohta
Hüperbool on samuti kooniline lõige, kuid see on avatud. Mõiste hüperbool viitab kahele joonisel näidatud lahtiühendatud kõverale. Ellipsina sulgumise asemel jätkavad hüperbooli käed või oksad lõpmatuseni.
Punkte, kus kahe haru vahel on kõige lühem vahemaa, nimetatakse tippudeks. Tippe läbivat joont peetakse põhiteljeks või põikteljeks ja see on üks hüperbooli põhitelgedest. Suurel teljel asuvad ka parabooli kaks fookust. Kahe tipu vahelise sirge keskpunkt on keskpunkt ja joonelõigu pikkus on poolpeatelg. Poolsuurtelje risti poolitaja on teine peatelg ja hüperbooli kaks kõverat on selle telje ümber sümmeetrilised. Parabooli ekstsentrilisus on suurem kui üks; e > 1.
Kui peateljed langevad kokku Descartes'i telgedega, on hüperbooli üldvõrrand järgmiselt:
x2/a2 – y2/b2=1,
kus a on poolpeatelg ja b on kaugus keskpunktist kummagi fookuseni.
X-telje vastas olevate lahtiste otstega hüperboole nimetatakse ida-lääne suunalisteks hüperboolideks. Sarnaseid hüperboole võib saada ka y-teljel. Neid nimetatakse y-telje hüperboolideks. Selliste hüperboolide võrrand on kujul
y2/a2 – x2/b2=1
Mis vahe on hüperboolil ja ellipsil?
• Nii ellipsid kui ka hüperbool on koonilised lõigud, kuid ellips on suletud kõver, samas kui hüperbool koosneb kahest avatud kõverast.
• Seetõttu on ellipsi perimeeter piiratud, kuid hüperboolil lõpmatu pikkus.
• Mõlemad on sümmeetrilised ümber oma suur- ja kõrv altelje, kuid suunaja asukoht on igal juhul erinev. Ellipsis asub see pool-suurteljel, samas kui hüperboolis asub see poolsuurteljel.
• Kahe koonilise lõigu ekstsentrilisus on erinev.
0 <eEllipse < 1
eHüperbool > 0
• Kahe kõvera üldvõrrand näeb välja sama, kuid need on erinevad.
• Suure telje risti poolitaja lõikab kõverat ellipsis, kuid mitte hüperboolis.
(Piltide allikas: Wikipedia)
