Erinevus Power Seriesi ja Taylori seeria vahel

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 13:37

Power Series vs Taylor Series

Matemaatikas on reaaljada reaalarvude järjestatud loend. Formaalselt on see funktsioon naturaalarvude hulgast reaalarvude hulka. Kui a_n on jada n^th, tähistame jada ₁, a ₂, …, a_n, …. Võtke näiteks jada 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Seda saab tähistada kui {1/n}.}

Seda on võimalik määratleda jadade abil. Seeria on jada liikmete summa. Seetõttu on iga jada jaoks seotud jada ja vastupidi. Kui vaadeldav jada on {a_{n}, võib selle jada moodustatud jada esitada järgmiselt:}

Seega on ül altoodud näites seotud seeria 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Nagu nimed viitavad, on võimsusseeria jada eritüüp ja seda kasutatakse laialdaselt numbrilises analüüsis ja sellega seotud matemaatilises modelleerimises. Taylori seeria on spetsiaalne jõuseeria, mis pakub alternatiivset ja hõlpsasti manipuleeritavat viisi tuntud funktsioonide esitamiseks.

Mis on Power seeria?

A võimsusseeria on jada kujul

mis on konvergentne (võimalik) mõne intervalli jaoks, mille keskpunkt on c. Koefitsiendid a_{nvõivad olla reaal- või kompleksarvud ning on x-ist sõltumatud; st näiv muutuja.}

Näiteks määrates a_n=1 iga n jaoks ja c=0, saab astmerida 1+x+x² +…..+ x^{+… saadakse. On lihtne jälgida, et kui x ε (-1, 1), koondub see astmerida väärtusele 1/(1-x).}

Postjada koondub, kui x=c. Teised x väärtused, mille puhul astmerida koondub, on alati avatud intervalli kujul, mille keskpunkt on c. See tähendab, et on väärtus 0≤ R ≤ ∞ nii, et iga x puhul, mis rahuldab |x-c|≤ R, on astmerida koonduv ja iga x puhul, mis rahuldab |x-c|> R, on astmerida lahknev. Seda väärtust R nimetatakse astmeridade lähenemisraadiuseks (R võib võtta mis tahes tegeliku väärtuse või positiivse lõpmatuse).

Võimsuse seeriaid saab liita, lahutada, korrutada ja jagada järgmiste reeglite abil. Mõelge kahele võimsussarjale:

Siis,

st. sarnased terminid liidetakse või lahutatakse. Samuti on võimalik kahte astmerida korrutada ja jagada, kasutades identiteeti

Mis on Taylori sari?

Taylori seeria on määratletud funktsiooni f (x) jaoks, mis on intervallil lõpmatult diferentseeruv. Oletame, et f (x) on diferentseeruv intervallil, mille keskpunkt on c. Seejärel astmerida, mis on antud

nimetatakse funktsiooni f (x) Taylori seeria laienduseks umbes c. (Siin f⁽ⁿ⁾ (c) tähistab n^{-ndat tuletist punktis x=c). Numbrilises analüüsis kasutatakse selles lõpmatus laienduses piiratud arvu termineid väärtuste arvutamiseks punktides, kus seeria läheneb algfunktsioonile.}

A funktsioon f (x) on analüütiline intervallis (a, b), kui iga x ε (a, b) korral koondub Taylori jada f (x) funktsioonile f (x). Näiteks 1/(1-x) on analüütiline (-1, 1), kuna selle Taylori laiendus 1+x+x²+….+ x ^{+… koondub selle intervalli funktsioonile ja e}x ^{on kõikjal analüütiline, kuna Taylori seeria e}x ^{koondub e} x ^{iga reaalarvu x.}

Mis vahe on Power sarjal ja Taylori seerial?

1. Taylori seeria on astmeridade eriklass, mis on defineeritud ainult funktsioonide jaoks, mis on mõnel avatud intervallil lõpmatult diferentseeruvad.

2. Taylori seeriad on erilisel kujul

kusjuures astmerida võib olla mis tahes jada kujul