Logaritmiline vs eksponentsiaalne | Eksponentfunktsioon vs logaritmiline funktsioon
Funktsioonid on üks olulisemaid matemaatiliste objektide klasse, mida kasutatakse laialdaselt peaaegu kõigis matemaatika alamvaldkondades. Nagu nende nimed viitavad, on nii eksponentsiaalne kui ka logaritmiline funktsioon kaks erifunktsiooni.
Funktsioon on seos kahe hulga vahel, mis on defineeritud nii, et iga esimese komplekti elemendi jaoks on unikaalne väärtus, mis vastab sellele teises komplektis. Olgu ƒ funktsioon, mis on defineeritud hulgast A hulka B. Seejärel tähistab sümbol ƒ(x) iga x ϵ A puhul unikaalset väärtust komplektis B, mis vastab x-le. Seda nimetatakse x-i kujutiseks ƒ all. Seetõttu on seos ƒ A-st B-sse funktsioon siis ja ainult siis, kui iga x ϵ A ja y ϵ A korral, kui x=y, siis ƒ(x)=ƒ(y). Hulka A nimetatakse funktsiooni ƒ domeeniks ja see on hulk, milles funktsioon on määratletud.
Mis on eksponentsiaalne funktsioon?
Eksponentfunktsioon on funktsioon, mille annab ƒ(x)=ex, kus e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) ja on transtsendentaalne irratsionaalne arv. Funktsiooni üks eripära on see, et funktsiooni tuletis on võrdne iseendaga; st kui y=ex, dy/dx=ex Samuti on funktsioon kõikjal pidev alt kasvav funktsioon, mille x-telg on asümptoot. Seetõttu on funktsioon ka üks-ühele. Iga x ϵ R jaoks on meil ex> 0 ja saab näidata, et see on punktis R + Samuti järgib see põhiidentiteeti ex+y=exey ja e0 =1. Funktsiooni saab esitada ka 1 + x/1 jada laienduse abil! + x2/2! + x3/3! + … + x/n! + …
Mis on logaritmiline funktsioon?
Logaritmiline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon. Kuna eksponentsiaalfunktsioon on üks-ühele ja R +, saab funktsiooni g defineerida positiivsete reaalarvude hulgast reaalarvude hulgaks, mille annab g(y)=x, siis ja ainult siis, y=ex Seda funktsiooni g nimetatakse logaritmiliseks funktsiooniks või kõige sagedamini naturaallogaritmiks. Seda tähistatakse g(x)=log ex=ln x. Kuna see on eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus, siis kui võtame eksponentsiaalfunktsiooni graafiku peegelduse üle sirge y=x, siis saame logaritmilise funktsiooni graafiku. Seega on funktsioon y-telje suhtes asümptootiline.
Logaritmiline funktsioon järgib mõningaid põhireegleid, millest ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y ja ln xy=y ln x on kõige olulisemad. See on ka kasvav funktsioon ja see on kõikjal pidev. Seetõttu on see ka üks-ühele. Võib näidata, et see asub R.
Mis vahe on eksponentsiaalfunktsioonil ja logaritmilisel funktsioonil?
• Eksponentfunktsiooni annab ƒ(x)=ex, samas kui logaritmilise funktsiooni annab g(x)=ln x ja esimene on funktsiooni pöördväärtus. viimane.
• Eksponentfunktsiooni domeen on reaalarvude hulk, logaritmifunktsiooni domeen aga positiivsete reaalarvude hulk.
• Eksponentfunktsiooni vahemik on positiivsete reaalarvude hulk, logaritmifunktsiooni vahemik aga reaalarvude hulk.
