Lineaarsed vs mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid
Võrrandit, mis sisaldab vähem alt ühte diferentsiaalkoefitsienti või tundmatu muutuja tuletist, nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks. Diferentsiaalvõrrand võib olla kas lineaarne või mittelineaarne. Selle artikli eesmärk on selgitada, mis on lineaarne diferentsiaalvõrrand, mis on mittelineaarne diferentsiaalvõrrand ning mis vahe on lineaarsetel ja mittelineaarsetel diferentsiaalvõrranditel.
Alates sellest, kui matemaatikud nagu Newton ja Leibnitz 18. sajandil arvutamise välja töötasid, on diferentsiaalvõrrand mänginud matemaatikaloos olulist rolli. Diferentsiaalvõrrandid on matemaatikas väga olulised nende rakendusalade tõttu. Diferentsiaalvõrrandid on iga mudeli keskmes, mille me välja töötame, et selgitada mis tahes stsenaariumi või sündmust maailmas, olgu see siis füüsikas, inseneriteaduses, keemias, statistikas, finantsanalüüsis või bioloogias (loetelu on lõputu). Tegelikult ei olnud enne, kui arvutusest sai väljakujunenud teooria, õigeid matemaatilisi tööriistu looduses esinevate huvitavate probleemide analüüsimiseks.
Arvutuse konkreetse rakenduse tulemuseks olevad võrrandid võivad olla väga keerulised ja mõnikord mitte lahendatavad. Siiski on neid, mida saame lahendada, kuid mis võivad tunduda sarnased ja segadust tekitavad. Seetõttu liigitatakse diferentsiaalvõrrandid hõlpsamaks tuvastamiseks nende matemaatilise käitumise järgi. Lineaarne ja mittelineaarne on üks selline liigitus. Oluline on tuvastada erinevus lineaarsete ja mittelineaarsete diferentsiaalvõrrandite vahel.
Mis on lineaarne diferentsiaalvõrrand?
Oletame, et f: X→Y ja f(x)=y, tundmatu funktsiooni y ja selle tuletisi mittelineaarsete liikmeteta diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks.
See seab tingimuse, et y-l ei tohi olla kõrgemaid indeksitermineid, nagu y2, y3, … ja tuletisinstrumentide kordajaid, nagu as
See ei tohi sisaldada ka mittelineaarseid termineid, nagu Sin y, e y ^-2 või ln y. See on kujul
kus y ja g on x funktsioonid. Võrrand on diferentsiaalvõrrand järku n, mis on kõrgeimat järku tuletise indeks.
Lineaarses diferentsiaalvõrrandis on diferentsiaaloperaator lineaaroperaator ja lahendused moodustavad vektorruumi. Lahendushulga lineaarsuse tulemusena on lahenduste lineaarne kombinatsioon ka diferentsiaalvõrrandi lahendus. See tähendab, et kui y1 ja y2 on diferentsiaalvõrrandi lahendid, siis C1 y 1+ C2 y2 on samuti lahendus.
Võrrandi lineaarsus on ainult üks klassifikatsiooni parameeter ja seda saab lisaks liigitada homogeenseteks või mittehomogeenseteks ja tavalisteks või osalisteks diferentsiaalvõrranditeks. Kui funktsioon on g=0, siis on võrrand lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand. Kui f on funktsioon kahest või enamast sõltumatust muutujast (f: X, T→Y) ja f(x, t)=y, siis on võrrand lineaarne osadiferentsiaalvõrrand.
Diferentsiaalvõrrandi lahendusmeetod sõltub diferentsiaalvõrrandi tüübist ja koefitsientidest. Lihtsaim juhtum tekib siis, kui koefitsiendid on konstantsed. Selle juhtumi klassikaline näide on Newtoni teine liikumisseadus ja selle erinevad rakendused. Newtoni teine seadus loob konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi.
Mis on mittelineaarne diferentsiaalvõrrand?
Mittelineaarseid termineid sisaldavaid võrrandeid nimetatakse mittelineaarseteks diferentsiaalvõrranditeks.
Kõik ül altoodud on mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Mittelineaarseid diferentsiaalvõrrandeid on raske lahendada, seetõttu on õige lahenduse saamiseks vaja neid põhjalikult uurida. Osadiferentsiaalvõrrandite puhul puudub enamikul võrranditest üldlahend. Seetõttu tuleb iga võrrandit käsitleda eraldi.
Navier-Stokesi võrrand ja Euleri võrrand vedeliku dünaamikas, Einsteini üldrelatiivsusteooria väljavõrrandid on hästi tuntud mittelineaarsed osadiferentsiaalvõrrandid. Mõnikord võib Lagrange'i võrrandi rakendamine muutujasüsteemile põhjustada mittelineaarsete osadiferentsiaalvõrrandite süsteemi.
Mis vahe on lineaarsetel ja mittelineaarsetel diferentsiaalvõrranditel?
• Diferentsiaalvõrrandit, millel on ainult tundmatu või sõltuva muutuja ja selle tuletised lineaarsed liikmed, nimetatakse lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks. Sellel pole ühtegi terminit, mille sõltuv muutuja indeks on suurem kui 1, ja see ei sisalda ühtegi selle tuletise kordajat. Sellel ei saa olla sõltuva muutuja suhtes mittelineaarseid funktsioone, nagu trigonomeetrilised funktsioonid, eksponentsiaalfunktsioonid ja logaritmilised funktsioonid. Kõik ülalmainitud termineid sisaldavad diferentsiaalvõrrandid on mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid.
• Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendused loovad vektorruumi ja diferentsiaaloperaator on ka lineaaroperaator vektorruumis.
• Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendused on suhteliselt lihtsamad ja üldlahendused on olemas. Mittelineaarsete võrrandite puhul enamikul juhtudel üldist lahendust ei eksisteeri ja lahendus võib olla probleemispetsiifiline. See muudab lahenduse palju keerulisemaks kui lineaarvõrrandid.
