Assotsiatiivne vs kommutatiivne
Igapäevaelus peame kasutama numbreid alati, kui vajame midagi mõõta. Toidupoes, bensiinijaamas ja isegi köögis peame kaks või enam kogust liitma, lahutama ja korrutama. Praktikast lähtudes teeme need arvutused üsna vaevata. Me ei märka kunagi ega kahtle, miks me neid toiminguid sel konkreetsel viisil teeme. Või miks ei saa neid arvutusi teistmoodi teha. Vastus peitub selles, kuidas need tehted algebra matemaatilises väljas defineeritakse.
Algebras määratletakse kahte suurust hõlmav tehe (näiteks liitmine) kahendtehtena. Täpsem alt on see tehe kahe komplekti elemendi vahel ja neid elemente nimetatakse "operandiks". Paljusid matemaatika tehteid, sealhulgas varem mainitud aritmeetilisi tehteid ja neid, mida kohtab hulgateoorias, lineaaralgebras ja matemaatilises loogikas, saab defineerida kahendtehtetena.
Konkreetse binaaroperatsiooni kohta on kehtestatud juhtreeglid. Assotsiatiivsed ja kommutatiivsed omadused on binaartehte kaks põhiomadust.
Lisateave kommutatiivse vara kohta
Oletame, et elementidega A ja B sooritatakse mingi kahendtehte, mida tähistatakse sümboliga ⊗. Kui operandide järjekord ei mõjuta tehte tulemust, siis öeldakse, et tehe on kommutatiivne. st kui A ⊗ B=B ⊗ A, siis on tehe kommutatiivne.
Aritmeetilised tehted liitmine ja korrutamine on kommutatiivsed. Arvude liitmise või korrutamise järjekord ei mõjuta lõplikku vastust:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Aga jagamise korral annab järjekorra muutmine teise pöördarvu ja lahutamisel annab muutus teise negatiivse. Seetõttu
A – B ≠ B – A ⇒ 4–5=-1 ja 5–4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 ja 5 ÷ 4=1,25 [antud juhul A, B ≠ 1 ja 0
Tegelikult öeldakse, et lahutamine on kommutatiivne; kus A – B=– (B – A).
Samuti on kommutatiivsed loogilised konnektiivid, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon ja ekvivalentsus. Tõefunktsioonid on ka kommutatiivsed. Määratud operatsioonide liit ja ristmik on kommutatiivsed. Lisamine ja vektorite skalaarkorrutis on samuti kommutatiivsed.
Kuid vektori lahutamine ja vektorkorrutis ei ole kommutatiivne (kahe vektori vektorkorrutis on kommutatiivne). Maatriksi liitmine on kommutatiivne, kuid korrutamine ja lahutamine ei ole kommutatiivsed.(Kahe maatriksi korrutamine võib erijuhtudel olla kommutatiivne, näiteks maatriksi korrutamine selle pöördmaatriksiga või identsusmaatriksiga, kuid kindlasti ei ole maatriksid kommutatiivsed, kui maatriksid ei ole ühesuurused)
Lisateave assotsiatiivse vara kohta
Binaartehte peetakse assotsiatiivseks, kui täitmise järjekord ei mõjuta tulemust, kui operaator on kaks või enam korda. Vaatleme elemente A, B ja C ning kahendtehtet ⊗. Tehe ⊗ on assotsiatiivne, kui
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Põhilistest aritmeetilistest funktsioonidest on assotsiatiivsed ainult liitmine ja korrutamine.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) × 3=60
Lahutamine ja jagamine ei ole assotsiatiivsed;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 ja (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 ja (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Loogiliste konnektiivide disjunktsioon, konjunktsioon ja ekvivalentsus on assotsiatiivsed, nagu ka hulgatehte liit ja ristmik. Maatriks ja vektorliit on assotsiatiivsed. Vektorite skalaarkorrutis on assotsiatiivne, kuid vektorkorrutis mitte. Maatriksikorrutis on assotsiatiivne ainult erilistel asjaoludel.
Mis vahe on kommutatiivsel ja assotsiatiivsel omadusel?
• Nii assotsiatiivne kui ka kommutatiivne omadus on kahendtehte eriomadused ja mõned neist rahuldavad ja mõned mitte.
• Neid omadusi võib näha paljudes algebraliste ja muude matemaatika kahendtehte vormide puhul, nagu ristmik ja liit hulgateoorias või loogilised konnektiivid.
• Kommutatiivse ja assotsiatiivse omaduse erinevus seisneb selles, et kommutatiivne omadus ütleb, et elementide järjekord ei muuda lõpptulemust, samas kui assotsiatiivne omadus ütleb, et toimingu sooritamise järjekord ei mõjuta lõplikku vastust.
