Kardinal vs Ordinaal
Meie igapäevaelus võib numbrite kasutamine erinevates olukordades esineda erineval kujul. Näiteks kui loendame objektide kogumi suuruse väljaselgitamiseks, loeme need üheks, kaheks, kolmeks jne. Kui tahame midagi loendada, et saada aimu objektide asukohast, loeme need esimeseks, teiseks, kolmandaks ja nii edasi. Esimeses loendusvormis nimetatakse numbreid kardinaalseteks numbriteks. Teises loendusvormis käsitletakse numbreid järgarvudena. Selles kontekstis on mõisted kardinal ja ordinaal täielikult keeleteaduse küsimus; kardinal ja ordinaal on omadussõnad.
Kuid mõiste laiendamine hulkadele matemaatikas näitab palju sügavamat ja laiemat perspektiivi ning seda ei saa käsitleda lihts alt. Selles artiklis püüame mõista kardinaal- ja järgarvude põhimõisteid matemaatikas.
Kardinaal- ja järgarvude formaalsed definitsioonid on esitatud hulgateoorias. Definitsioonid on keerulised ja nende täielikuks mõistmiseks on vaja taustateadmisi hulgateooriast. Seetõttu pöördume mõistete heuristiliseks mõistmiseks paari näite poole.
Kaaluge kahte komplekti {1, 3, 6, 4, 5, 2} ja {buss, auto, praam, rong, lennuk, helikopter}. Iga komplekt loetleb elementide hulga ja kui me loendame elementide arvu, on ilmne, et igaühel on sama arv elemente, mis on 6. Sellele järeldusele jõudes oleme võtnud ühe komplekti suuruse ja võrrelnud seda teisega, kasutades number. Sellist arvu nimetatakse kardinaalarvuks. Seetõttu võime öelda, et kardinaalarv on arv, mida saame kasutada lõplike hulkade suuruse võrdlemiseks.
Jälle saab esimese arvude komplekti järjestada kasvavas järjekorras, võttes arvesse iga elemendi suurust ja neid võrreldes. Tellimise käigus loetakse numbreid kardinaliks. Samuti saab kõigi mittenegatiivsete täisarvude hulga järjestada hulka; st {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Kuid sel juhul muutub hulga suurus lõpmatuks ja selle andmine järgarvudes pole võimalik. Olenemata sellest, kui suure arvu te komplekti suuruse määramiseks valite, jäetakse valitud komplektist välja numbreid, mis on mittenegatiivsed täisarvud.
Seetõttu määratlevad matemaatikud selle lõpmatu kardinali (mis on esimene) kui Aleph-0, mis on kirjutatud kui א (heebrea tähestiku esimene täht). Formaalselt on järjekorranumber hästi järjestatud komplekti tellimuse tüüp. Seetõttu saab lõplike hulkade järgarvu anda kardinaalarvudega, kuid lõpmatute hulkade järgarvu annavad piiriülesed arvud, näiteks Aleph-0.
Mis vahe on kardinaal- ja järgarvudel?
• Kardinaalarv on arv, mida saab kasutada loendamiseks või lõpliku järjestatud hulga suuruse määramiseks. Kõik kardinaalarvud on järgarvud.
• Järjearvud on arvud, mida kasutatakse nii lõplike kui ka lõpmatute järjestatud hulgade suuruse määramiseks. Lõplike järjestatud hulkade suurus määratakse tavaliste hindu-araabia algebraliste numbritega ja lõpmatu hulga suurus on piiriüleste arvudega.
