Ortogonaalne vs ortonormaalne
Matemaatikas kasutatakse kahte sõna ortogonaalne ja ortonormaalne sageli koos vektorite komplektiga. Siin kasutatakse mõistet "vektor" selles mõttes, et see on vektorruumi element - lineaaralgebras kasutatav algebraline struktuur. Arutelu jaoks käsitleme sisemist korrutisruumi – vektorruumi V koos sisemise korrutisega , mis on määratletud V.
Näiteks sisekorrutise puhul on ruum kõigi 3-mõõtmeliste positsioonivektorite kogum koos tavalise punktkorrutiga.
Mis on ortogonaalne?
Sisemise korrutisruumi V mittetühi alamhulk S on ortogonaalne, siis ja ainult siis, kui iga erineva u, v korral S-s [u, v]=0; st u ja v sisekorrutis on võrdne sisemise korrutisruumi nullskalaariga.
Näiteks kõigi 3-mõõtmeliste positsioonivektorite hulga puhul on see samaväärne väitega, et iga erineva positsioonivektori p ja q paari puhul S-s on p ja q üksteisega risti. (Pidage meeles, et selle vektorruumi sisemine korrutis on punktkorrutis. Samuti on kahe vektori punktkorrutis 0-ga siis ja ainult siis, kui need kaks vektorit on üksteisega risti.)
Võtke arvesse hulka S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, mis on 3-mõõtmeliste asukohavektorite alamhulk. Pange tähele, et (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0), 5)=0. Seega on hulk S ortogonaalne. Eelkõige öeldakse, et kaks vektorit on ortogonaalsed, kui nende sisemine korrutis on 0. Seetõttu on iga Sis-i vektorite paar ortogonaalne.
Mis on ortonormaalne?
Sisekorrutisruumi V mittetühi alamhulka S nimetatakse ortonormaalseks siis ja ainult siis, kui S on ortogonaalne ja iga vektori u puhul S-s [u, u]=1. Seetõttu on näha, et iga ortonormaalne hulk on ortogonaalne, kuid mitte vastupidi.
Näiteks kõigi 3-mõõtmeliste asukohavektorite komplekti puhul on see samaväärne väitega, et iga erineva positsioonivektori p ja q paari puhul S-s on p ja q üksteisega risti ja iga p S-s, |p|=1. Selle põhjuseks on asjaolu, et tingimus [p, p]=1 taandub p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, mis võrdub |p-ga |=1. Seetõttu saame ortogonaalse hulga korral alati moodustada vastava ortonormaalse hulga, jagades iga vektori selle suurusega.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} on kõigi 3-mõõtmeliste asukohavektorite hulga ortonormaalne alamhulk. On lihtne näha, et see saadi, jagades kõik S vektorid nende suurustega.
Mis vahe on ortogonaalsel ja ortonormaalsel?
- Sisemise korrutisruumi V mittetühi alamhulk S on ortogonaalne, siis ja ainult siis, kui iga erineva u, v korral S-s [u, v]=0. Siiski on see ortonormaalne, kui ja ainult siis, kui lisatingimus – iga vektori u puhul S-s on täidetud [u, u]=1.
- Iga ortonormaalne hulk on ortogonaalne, kuid mitte vastupidi.
- Iga ortogonaalne hulk vastab kordumatule ortonormaalsele hulgale, kuid ortonormaalne hulk võib vastata paljudele ortogonaalhulkadele.
