Tegelikud numbrid vs kujuteldavad numbrid
Arvud on matemaatilised objektid, mida kasutatakse loendamiseks ja mõõtmiseks. Selle määratlus on aastate jooksul muutunud, lisandunud null, negatiivsed arvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud ja imaginaararvud. Kuigi arvusüsteemide abstraktne alus on seotud algebraliste struktuuridega, nagu rühmad, rõngad ja väljad, on siin esitatud ainult intuitiivne idee.
Mis on reaalarv?
Mitteametlikult määratledes on reaalarv arv, mille ruut on mittenegatiivne. Matemaatilises tähistuses tähistame reaalarvude hulka sümboliga R. Seega kõigi x puhul, kui x ϵ R, siis x 2 ≥ 0. Rangemal viisil võib reaalarvude komplekti esitada unikaalse, täieliku, täielikult järjestatud väljana kahendtehtega + ja. koos järjestusseosega <. See järjestusseos järgib trikotoomia seadust, mis ütleb, et kahe reaalarvu x ja y korral kehtib neist kolmest üks ja ainult üks; x > y, x < y või x=y.
Reaalarv võib olla kas algebraline või transtsendentaalne olenev alt sellest, kas see on täisarvuliste kordajatega polünoomvõrrandi juur või mitte. Samuti võib reaalarv olla kas ratsionaalne või irratsionaalne sõltuv alt sellest, kas seda saab väljendada kahe täisarvu suhtena või mitte. Näiteks 2,5 on reaalarv, mis on algebraline ja ratsionaalne, kuid ᴫ on nii irratsionaalne kui ka transtsendentaalne.
Reaalarvude komplekt on valmis. See tähendab, et iga ül alt piiratud reaalarvude mittetühja alamhulga jaoks on madalaim ülemine piir ja sellest võib järeldada, et igal allpool piiratud reaalarvude mittetühjal alamhulgal on suurim alampiir. See eristab reaalarvude hulka ratsionaalarvude hulgast. Võib väita, et reaalarvude hulk luuakse mittetäielike ratsionaalarvude hulga lünkade täitmisega, kusjuures lüngad on irratsionaalarvud.
Mis on imaginaarne arv?
Imaginaararv on arv, mille ruut on negatiivne. Teisisõnu, sellised arvud nagu √(-1), √(-100) ja √(- e) on kujuteldavad arvud. Kõik imaginaararvud saab kirjutada kujul a i, kus i on 'imaginaarne ühik' √(-1) ja a on nullist erinev reaalarv. (Jälgige, et i2=-1). Kuigi need numbrid ei tundu olevat reaalsed ja nagu nimigi viitab olematud, kasutatakse neid paljudes olulistes reaalmaailma rakendustes, nagu lennundus, elektroonika ja tehnika.
Mis vahe on reaalarvudel ja imaginaararvudel?• Reaalarvu ruut ei ole negatiivne, kuid imaginaararvu ruut on negatiivne. • Reaalarvude hulk moodustab täieliku ja täielikult järjestatud välja, samas kui imaginaarsete arvude hulk pole täielik ega järjestatud. |
