Diskreetne funktsioon vs pidev funktsioon
Funktsioonid on üks olulisemaid matemaatiliste objektide klasse, mida kasutatakse laialdaselt peaaegu kõigis matemaatika alamvaldkondades. Nagu nende nimed viitavad, on nii diskreetsed kui ka pidevad funktsioonid kaks funktsioonide eritüüpi.
Funktsioon on seos kahe hulga vahel, mis on defineeritud nii, et iga esimese komplekti elemendi jaoks on unikaalne väärtus, mis vastab sellele teises komplektis. Olgu f funktsioon, mis on defineeritud hulgast A hulka B. Seejärel tähistab sümbol f (x) iga x ϵ A puhul unikaalset väärtust komplektis B, mis vastab x-le. Seda nimetatakse x-i kujutiseks f-i all. Seetõttu on seos f A-st B-sse funktsioon, siis ja ainult siis, kui iga xϵ A ja y ϵ A jaoks; kui x=y, siis f (x)=f (y). Hulka A nimetatakse funktsiooni f domeeniks ja see on hulk, milles funktsioon on määratletud.
Võtke näiteks seost f R-st R-sse, mis on defineeritud f (x)=x + 2 iga xϵ A jaoks. See on funktsioon, mille domeen on R, kuna iga reaalarvu x ja y puhul tähendab x=y f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Kuid suhe g N-st N-i, mis on defineeritud g (x)=a, kus 'a' on x algtegurid, ei ole funktsioon, kuna g (6)=3, samuti g (6)=2.
Mis on diskreetfunktsioon?
Diskreetne funktsioon on funktsioon, mille domeen on maksimaalselt loendatav. See tähendab lihts alt, et on võimalik koostada loend, mis sisaldab kõiki domeeni elemente.
Iga lõplik hulk on maksimaalselt loendatav. Naturaalarvude hulk ja ratsionaalarvude hulk on näited maksimaalselt loendatavate lõpmatute hulkade jaoks. Reaalarvude hulk ja irratsionaalarvude hulk ei ole kõige rohkem loendatavad. Mõlemad komplektid on loendamatud. See tähendab, et on võimatu koostada loendit, mis sisaldaks nende komplektide kõiki elemente.
Üks levinumaid diskreetseid funktsioone on faktoriaalfunktsioon. f:N U{0}→N, mis on rekursiivselt defineeritud f (n)=n f (n-1) iga n ≥ 1 ja f (0)=1 korral, nimetatakse faktoriaalfunktsiooniks. Pange tähele, et selle domeen N U{0} on maksimaalselt loendatav.
Mis on pidev funktsioon?
Olgu f selline funktsioon, et iga k puhul f piirkonna f (x) → f (k) puhul on x → k. Siis f on pidev funktsioon. See tähendab, et f (x) on võimalik muuta f (k)-le meelevaldselt lähedaseks, tehes x piisav alt lähedaseks k-le iga k puhul domeenis f.
Võtke arvesse funktsiooni f (x)=x + 2 R-l. On näha, et x → k, x + 2 → k + 2, mis on f (x) → f (k). Seetõttu on f pidev funktsioon. Nüüd kaaluge g positiivsetel reaalarvudel g (x)=1, kui x > 0 ja g (x)=0, kui x=0. Siis ei ole see funktsioon pidev funktsioon, kuna g (x) piiri ei eksisteeri (ja järelikult ei ole see võrdne g (0)) kui x → 0.
Mis vahe on diskreetsel ja pideval funktsioonil?
• Diskreetne funktsioon on funktsioon, mille domeen on maksimaalselt loendatav, kuid see ei pea nii olema pidevate funktsioonide puhul.
• Kõigil pidevatel funktsioonidel ƒ on omadus, et ƒ(x)→ƒ(k) kui x → k iga x ja iga k puhul ƒ domeenis, kuid see pole nii mõne diskreetse funktsiooni puhul.
