Laplace vs Fourier' teisendused
Nii Laplace'i teisendus kui ka Fourier' teisendus on integraalsed teisendused, mida kasutatakse kõige sagedamini matemaatiliste meetoditena matemaatiliselt modelleeritud füüsiliste süsteemide lahendamiseks. Protsess on lihtne. Keeruline matemaatiline mudel teisendatakse integra alteisendust kasutades lihtsamaks, lahendatavaks mudeliks. Kui lihtsam mudel on lahendatud, rakendatakse integra alteisendust, mis pakuks lahenduse algsele mudelile.
Näiteks kuna enamiku füüsikaliste süsteemide tulemuseks on diferentsiaalvõrrandid, saab need integra alteisendust kasutades teisendada algebralisteks võrranditeks või vähemal määral kergesti lahendatavateks diferentsiaalvõrranditeks. Siis muutub probleemi lahendamine lihtsamaks.
Mis on Laplace'i teisendus?
Arvestades reaalmuutuja t funktsiooni f (t), on selle Laplace'i teisendus defineeritud integraaliga [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (kui see on olemas), mis on kompleksmuutuja s funktsioon. Tavaliselt tähistatakse seda L { f (t)}. Funktsiooni F (s) Laplace'i pöördteisenduseks võetakse funktsioon f (t) nii, et L { f (t)}=F (s) ja tavalises matemaatilises tähistuses kirjutame L-1{ F (s)}=f (t). Kui nullfunktsioonid pole lubatud, saab pöördteisendust muuta ainulaadseks. Neid kahte saab identifitseerida funktsiooniruumis määratletud lineaarsete operaatoritena ja samuti on lihtne näha, et L -1{ L { f (t)}}=f (t), kui nullfunktsioonid pole lubatud.
Järgmises tabelis on loetletud mõnede enamlevinud funktsioonide Laplace'i teisendused.
Mis on Fourier' teisendus?
Arvestades reaalmuutuja t funktsiooni f (t), on selle Laplace'i teisendus defineeritud integraaliga [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (kui see on olemas) ja seda tähistatakse tavaliselt tähega F { f (t)}. Pöördteisendus F -1{ F (α)} saadakse integraaliga [lateks] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/lateks]. Fourier' teisendus on samuti lineaarne ja seda võib pidada funktsiooniruumis määratletud operaatoriks.
Fourieri teisenduse abil saab algse funktsiooni kirjutada järgmiselt eeldusel, et funktsioonil on ainult piiratud arv katkestusi ja see on täiesti integreeritav.
Mis vahe on Laplace'i ja Fourier' teisenduste vahel?
- Funktsiooni f (t) Fourier' teisendus on määratletud kui [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], samas kui selle Laplace'i teisendus on defineeritud kui [lateks] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourier' teisendus on defineeritud ainult kõigi reaalarvude jaoks määratud funktsioonide jaoks, samas kui Laplace'i teisendus ei nõua funktsiooni määratlemist negatiivsete reaalarvude komplekti korral.
- Fourier' teisendus on Laplace'i teisenduse erijuht. On näha, et mõlemad kattuvad mittenegatiivsete reaalarvude korral. (st Laplace'i s on iα + β, kus α ja β on reaalsed, nii et e β=1/ √(2ᴫ))
- Igal funktsioonil, millel on Fourier' teisendus, on Laplace'i teisendus, kuid mitte vastupidi.
