Lineaarne võrrand vs mittelineaarne võrrand
Matemaatikas on algebralised võrrandid võrrandid, mis moodustatakse polünoomide abil. Kui need on sõnaselgelt kirjutatud, on võrrandid kujul P(x)=0, kus x on n tundmatu muutuja vektor ja P on polünoom. Näiteks P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 on algebraline võrrand kahes muutujas, mis on selgesõnaliselt kirjutatud. Lisaks on (x+y)3 =3x2y – 3zy4 on algebraline võrrand, kuid kaudsel kujul ja see on kujul Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, kui see on selgesõnaliselt kirjutatud.
Algebralise võrrandi oluline tunnus on selle aste. See on määratletud kui võrrandis esinevate terminite suurim võimsus. Kui liige koosneb kahest või enamast muutujast, võetakse liikme astmeks iga muutuja eksponentide summa. Pange tähele, et selle definitsiooni kohaselt on P(x, y)=0 5. aste, samas kui Q(x, y, z)=0 on 5. aste.
Lineaarvõrrandid ja mittelineaarvõrrandid on algebraliste võrrandite kogumis määratletud kahest osast. Võrrandi aste on tegur, mis eristab neid üksteisest.
Mis on lineaarvõrrand?
Lineaarvõrrand on 1. astme algebraline võrrand. Näiteks 4x + 5=0 on ühe muutuja lineaarvõrrand. x + y + 5z=0 ja 4x=3w + 5y + 7z on vastav alt 3 ja 4 muutujaga lineaarvõrrandid. Üldiselt on n muutujaga lineaarne võrrand kujul m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Siin on xi's tundmatud muutujad, mi ja b on reaalarvud, kus igaüks mi ei ole null.
Selline võrrand kujutab hüpertasandit n-mõõtmelises eukleidilises ruumis. Täpsem alt, kahe muutujaga lineaarvõrrand esindab sirget Descartes'i tasapinnal ja kolme muutujaga lineaarvõrrand esindab tasapinda Eukleidilise 3-ruumis.
Mis on mittelineaarne võrrand?
Ruutvõrrand on algebraline võrrand, mis ei ole lineaarne. Teisisõnu, mittelineaarne võrrand on algebraline võrrand, mille aste on 2 või kõrgem. x2 + 3x + 2=0 on ühe muutuja mittelineaarne võrrand. x2 + y3+ 3xy=4 ja 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 on vastav alt 3 ja 4 muutujaga mittelineaarsete võrrandite näited.
Teise astme mittelineaarset võrrandit nimetatakse ruutvõrrandiks. Kui aste on 3, nimetatakse seda kuupvõrrandiks.4. astme ja 5. astme võrrandeid nimetatakse vastav alt kvartsi- ja kvintikaalvõrranditeks. On tõestatud, et 5. astme mittelineaarse võrrandi lahendamiseks pole olemas analüütilist meetodit ja see kehtib ka iga kõrgema astme kohta. Lahendatavad mittelineaarsed võrrandid esindavad hüperpindu, mis ei ole hüpertasandid.
Mis vahe on lineaarvõrrandil ja mittelineaarvõrrandil?
• Lineaarvõrrand on 1. astme algebraline võrrand, kuid mittelineaarvõrrand on 2. või kõrgema astme algebravõrrand.
• Kuigi iga lineaarvõrrand on analüütiliselt lahendatav, ei ole see mittelineaarsete võrrandite puhul nii.
• N-mõõtmelises eukleidilises ruumis on n-muutuja lineaarvõrrandi lahendusruum hüpertasand, n-muutujaga mittelineaarvõrrandi oma aga hüperpind, mis ei ole hüpertasand. (neljad, kuuppinnad jne)
